Question

已知函数f(x)=a-

1

2x-1

，（a∈R）
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）考察f（x）在定义域上单调性的情况，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由分式成立的条件可得，2^x-1≠0，从而可求函数的定义域
（2）由函数为奇函数可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立，代入整理可求a
（3）利用函数的单调性的定义：设x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，通过做差判断f（x₁）与f（x₂）的大小，即可判断函数的单调性

解答：解：（1）由分式成立的条件可得，2^x-1≠0，
∴x≠0，定义域为{x|x∈R且x≠0}
（2）函数为奇函数可得f（-x）+f（x）=0对定义域内的任意x都成立
∴a-

1

2-x-1

+a-

1

2x-1

=0
∴2a=

1

2x-1

-

2x

2x-1

=-1
∴a=-

1

2

（3）设任意的x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x2-1)(2x1-1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在定义域上单调递增．

点评：本题主要考查了函数分式型函数的定义域的求解，奇函数定义的应用，及利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，是函数的性质的综合应用．解题的关键是灵活应用函数的性质．