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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，Q分别是BB1，BC1中点，点P在线段C1M上，且
    C1P
    =x
    C1M
    ，
    （1）用向量
    AB
    ，
    AC
    ，
    AA1
    表示向量
    AQ
    ；
    （2）用向量
    AB
    ，
    AC
    ，
    AA1
    表示向量
    AP
    ；
    （3）若AP与平面A1BC交于N，
    AN
    =y
    AP
    ，求出y关于x的函数关系式．
    分析：（1）利用向量的平行四边形法则，用向量
    AC
    ，
    AA1
    表示向量
    AC1
    ，再利用
    AQ
    =
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC1
    )    ，即可得到用向量
    AB
    ，
    AC
    ，
    AA1
    表示向量
    AQ
    ；
    （2）利用向量的三角形法则，可得向量
    AB
    ，
    AC
    ，
    AA1
    表示向量
    AP
    ；
    （3）利用空间向量的基本定理即可得出．
    解答：解：（1）∵
    AA1
    +
    AC
    =
    AC1
    ，
    AQ
    =
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC1
    )    ，
    ∴
    AQ
    =
    1
    2
    (
    AC
    +
    AB
    +
    AA1
    )    ．
    （2）∵
    C1P
    =x
    C1M
    ，
    又
    C1M
    =
    C1B1
    +
    B1M
    =
    CB
    -
    1
    2
    AA1

    =
    AB
    -
    AC
    -
    1
    2
    AA1
    ，
    ∴
    AP
    =
    AC1
    +
    C1P
    =
    AA1
    +
    AC
    +x
    C1M

    =
    AA1
    +
    AC
    +x(
    AB
    -
    AC
    -
    1
    2
    AA1
    )
    =(1-
    1
    2
    x)
    AA1
    +(1-x)
    AC
    +x
    AB
    ．
    （3）由空间向量的基本定理可设
    AN
    =k
    AB
    +m
    AA1
    +n
    AC
    ，
    ∵四点A1、B、C、N共面，∴k+m+n=1．
    ∵
    AN
    =y
    AP
    ，
    ∴y[(1-
    1
    2
    x)
    AA1
    +(1-x)
    AC
    +x
    AB
    ]    =k
    AB
    +m
    AA1
    +n
    AC
    ，
    ∴
    y(1-
    1
    2
    x)=m
    y(1-x)=n
    yx=k
    ，利用k+m+n=1，
    可得yx+y(1-x)+y(1-
    1
    2
    x)=1    ，
    化为y=
    2
    4-x
    (0≤x≤1)    即为所求的关系式．
    点评：本题综合考查了平面向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的基本定理、三点共面的性质定理等基础知识与基本技能，属于难题．
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    ．精英家教网

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    12
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    		2
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    		2
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    （Ⅱ）若AC≤
    		2
    ，且EF与平面ACC'A'所成的角的余弦为
    		7
    3
    ，求二面角C-AA'-B的大小．

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