Question

9．在斜三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$
（1）求角A；
（2）若b²=c²+$\frac{1}{2}$a²，求sin（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，结合$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$，可得sin2A=1，即可求角A；
（2）若b²=c²+$\frac{1}{2}$a²，则由余弦定理可得sin²B=sin²C+$\frac{1}{2}$sin²A，即可求sin（B-C）的值．

解答 解：（1）∵$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$=$\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$，
∴-2cosB=$\frac{-cosB}{sinAcosA}$，
∴sin2A=1，
∴A=45°；
（2）∵b²=c²+$\frac{1}{2}$a²，
∴由余弦定理可得sin²B=sin²C+$\frac{1}{2}$sin²A，
∴sin（B+C）sin（B-C）=$\frac{1}{2}$sin²A，
∴sin（B-C）=$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确计算余弦定理是关键．