Question

19．已知函数f（2x+1）=4x²+8x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=sin（π-x）cos（x-$\frac{π}{2}$）+sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（2π-x）+sin（$\frac{π}{3}$+x），求f[g（x）]的值域．

Answer 1

分析 （1）可令2x+1=t，求出x=$\frac{t-1}{2}$，从而可求出f（t）=t²+2t-3，t换上x便可得出f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的诱导公式得出g（x）=$1+sin（\frac{π}{3}+x）$，从而得到0≤g（x）≤2，而配方得到f（x）=（x+1）²-4，这样便可看出g（x）=0时，f[g（x）]取最小值，g（x）=2时，f[g（x）]取最大值，从而便可得出f[g（x）]的值域．

解答 解：（1）令2x+1=t，x=$\frac{t-1}{2}$；
∴$f（t）=4（\frac{t-1}{2}）^{2}+8（\frac{t-1}{2}）$=t²+2t-3；
∴f（x）=x²+2x-3；
（2）$g（x）=sinx•sinx+cosx•cosx+sin（\frac{π}{3}+x）$=$1+sin（\frac{π}{3}+x）$；
∴0≤g（x）≤2；
f（x）=（x+1）²-4；
∴g（x）=0时，f[g（x）]取最小值-3，g（x）=2时，f[g（x）]取最大值5；
∴f[g（x）]的值域为[-3，5]．

点评 考查换元法求函数的解析式，三角函数的诱导公式，正弦函数的值域，以及配方求二次函数在闭区间上值域的方法．