Question

10．已知{$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$}为空间的一个基底，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{OB}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{3}}$，能否以{$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$}作为空间的一组基底？

Answer 1

分析 假设存在不全为0的实数m，n，使得$\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$成立，则$\left\{\begin{array}{l}{1=-3m+n}\\{2=m+n}\\{-1=2m-n}\end{array}\right.$，通过此方程组的解即可判断出结论．

解答 解：假设存在不全为0的实数m，n，使得$\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{1=-3m+n}\\{2=m+n}\\{-1=2m-n}\end{array}\right.$，此方程组无解，
即不存在不全为0的实数m，n，使得$\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$成立，
因此假设不成立．
因此能以{$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$}作为空间的一组基底．
答：能以{$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$}作为空间的一组基底．

点评 本题考查了空间向量基底的性质及其判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．