Question

15．设是n给定的大于2的整数，有n个外表上没有区别的袋子，第k个袋子有k个红球，n-k个白球，把这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每次取出不放回），求第三次取出的是白球的概率．

Answer 1

分析 先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第k个袋子的概率为$\frac{1}{n}$，由此能求出第三次取出的是白球的概率．

解答 解：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为n（n-1）（n-2），
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白白白），取法数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2），
（白红白），取法数为k（n-k）（n-k-1），
（红白白），取法数为k（n-k）（n-k-1），
（红红白），取法数为k（k-1）（n-k），
从而第三次取出的是白球的种数为：
（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）=（n-1）（n-2）（n-k），
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率p_k=$\frac{n-k}{n}$，
而选到第k个袋子的概率为$\frac{1}{n}$，故所求概率为：
p=$\sum_{k=1}^{n}{p}_{k}•\frac{1}{n}$=$\sum_{k=1}^{n}\frac{n-k}{n}•\frac{1}{n}$
=$\frac{1}{{n}^{2}}\sum_{k=1}^{n}（n-k）$=$\frac{1}{{n}^{2}}\sum_{i=0}^{n-1}i$=$\frac{n-1}{2n}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．