Question

20．当a＞0，0≤x≤1时，讨论函数y=f（x）=-x²+2ax的最大值和最小值．

Answer 1

分析 先求二次函数图象的对称轴，因为开口向下，因此求最大值，根据对称轴分三种情况讨论，分别求出最大值和最小值．

解答 解：y=f（x）=-x²+2ax=-（x-a）²+a²，
函数y=-x²-2ax+1的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，函数在[0，a]上为增函数，在（a，1）上为减函数，x=a时，函数最大值为：a²，当x=1时，函数最小值为：2a-1；
当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，函数在[0，a]上为增函数，在（a，1）上为减函数，x=a时，函数最大值为：a²，当x=0时，函数最小值为：0；
当a＞1时，函数在[0，1]上为增函数，x=1时，函数最大值为：1，当x=0时，函数最小值为：0．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．