Question

（本小题满分12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，.

（1）求抛物线的方程；

（2）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线的方程.

Answer 1

（1）y2＝4x；（2），或.

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（）

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．

因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，

得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）（）化为y2－4my＋8＝0．

y1＋y2＝4m，y1y2＝8． 6分

设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①

又， ②

由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，

解得m2＝3，．

所以，直线l的方程为，或． 12分

考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.