Question

如图，四边形ABCD是正方形，PD∥MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=AD=

1

2

PD=1．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）求三棱锥A-CMP的高．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱锥的结构特征

专题：等体积法,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由PM⊥平面CDM得PM⊥CD，ABCD是正方形得CD⊥AD，从而证得CD⊥平面AMPD，即平面ABCD⊥平面AMPD；
（Ⅱ）设三棱锥A-CMP的高为h，由等积法V_A-CMP=V_C-AMP，求出△CMP与△AMP的面积，即可求出高h．

解答： 解：（Ⅰ）∵PM⊥平面CDM，且CD?平面CDM，∴PM⊥CD，
又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
在梯形AMPD中，PM与AD相交，
∴CD⊥平面AMPD，
又∵CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD；…（4分）
（Ⅱ）设三棱锥A-CMP的高为h，
由（Ⅰ）知CD⊥平面AMPD，且PM⊥平面CDM，
∴PM⊥CM，PM⊥DM，
∵MA=AD=

1

2

PD=1，
∴DM=

2

，CM=

3

，PM=

2

，…（6分）
∴S△AMP=

1

2

AM•AD=

1

2

，
S△CMP=

1

2

CM•PM=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

；…（8分）
∵V_A-CMP=V_C-AMP，
∴

1

3

S△CMP•h=

1

3

S△AMP•CD；…（10分）
即

1

3

×

6

2

•h=

1

3

×

1

2

×1，
解得h=

6

6

；…（12分）
∴三棱锥A-CMP的高为

6

6

．（其他做法参照给分）

点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题，也考查了求几何体的体积的问题，是中档题．