Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．

（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求证：CM∥平面BEF；
（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．

∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，

又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，

∴AC⊥BE．

又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．

（2）证明：取AF得中点Q，连接CQ，MQ．

∵2PF=FA，∴点F为PQ的中点，

由三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，

又CQ∩MQ=Q，∴平面BEF∥平面CMQ，

∴CM∥平面BEF．

（3）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），F ．

， ．

设平面BEF的法向量为 =（x，y，z），则 ，令x=1，则z=﹣1，y=1．

∴ =（1，1，﹣1）．取平面ABC的法向量 ．

则 = = =﹣ ．

∴平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为 ．

【解析】（1）利用等腰三角形的性质可得BE⊥PC．再利用线面垂直的判定和性质即可证明BE⊥平面PAC；（2）取AF得中点Q，连接CQ，MQ．利用已知及三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，即可得到面面平行：平面BEF∥平面CMQ，进而得到线面平行；（3）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．