Question

已知命题p：x²-x-2≤0，命题q：x²-x-m²-m≤0．
（1）求￢p
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）先解命题p对应的不等式，再求￢p；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，反之不成立，所以q⇒p成立，反之不成立，即q是p的充分不必要条件，对命题q对应的不等式，分类求解，即可求得m的范围．

解答：解：（1）解不等式x²-x-2≤0，可得-1≤x≤2
∴￢p对应的集合为{x|x＜-1或x＞2}；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，反之不成立
∴q⇒p成立，反之不成立
由命题q：x²-x-m²-m≤0可知
①m=-

1

2

时，原不等式的解集为{-

1

2

}，不合题意；
②m＞-

1

2

时，m+1＞-m，原不等式的解集为[-m，m+1]
∴

-m≥-1 m+1≤2

，∴m≤1，∴-

1

2

＜m≤1；
③m＜-

1

2

时，m+1＜-m，原不等式的解集为[m+1，-m]
∴

m+1≥-1 -m≤2

，∴m≥-2，∴-2≤m＜-

1

2

综上知，m的范围为[-2，-

1

2

)∪(-

1

2

，1]．

点评：本题以不等式为载体，考查命题的否定，考查四种条件，解题时解不等式，利用四种条件等价转化是关键．