Question

已知命题p：x²+x+2-m=0有一正一负两根，命题q：4x²+4（m-2）x+1=0无实根，若命题p与命题q有且只有一个为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：对于一元二次方程若有一正一负根，则满足的条件是△＞0且x₁•x₂＜0，若无实根，则△＜0，再利用题中命题一真一假，分为两种情况，可得实数m的取值范围．

解答：解：由x²+x+2-m=0有一正一负两根，得x₁x₂=2-m＜0，
从而m＞2．…（2分）
由4x²+4（m-2）x+1=0无实根，得△=16（m-2）²-16＜0，
从而1＜m＜3．…（4分）
若p真q假，则

m＞2 m≤1，  或m≥3

，∴m≥3．…（8分）
若p假q真，则

m≤2 1＜m＜3

，∴1＜m≤2．
综上，m≥3，或1＜m≤2．…（12分）

点评：此题考查一元二次方程根的分布情况及命题的真假判断与应用．属于基础题．