Question

设双曲线C₁的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C₁上的任意一点，作QB⊥PB，QA⊥PA，垂足分别为A、B，AQ与BQ交于点Q．
（1）求Q点的轨迹C₂方程；
（2）设C₁、C₂的离心率分别为e₁、e₂，当e1≥

2

时，求e₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求Q点的轨迹C₂方程，设Q（x，y），即求出Q点的坐标之间的关系式，再设P（x₀，y₀），A（-a，0），B（a，0），利用QB⊥PB，QA⊥PA，直线的斜率之积为-1，即可建立Q点的坐标之间的关系式，从而得出Q点的轨迹C₂方程；
（2）由（1）得C₂的方程为

x2

a2

-

y2

a4 b2

=1，利用其几何性质求出离心率，得出与e₁的关系式，最后根据e₁的范围即可得出e₂的取值范围．

解答：解：（1）如图，设P（x₀，y₀），Q（x，y），A（-a，0），B（a，0），QB⊥PB，QA⊥PA，
∴

y0 x0+a • y x+a =-1 y0 x0-a • y x-a =-1

两式相乘得：

y 2 0

x 2 0 -a2

•

y2

x2-a2

=1①
∵

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1，∴

y 2 0

x 2 0 -a2

=

b2

a2

，代入①得b²y²=x²a²-a⁴，即a²x²-b²y²=a⁴．
经检验，点（-a，0），（a，0）不合题意，因此Q点的轨迹方程是a²x²-b²y²=a⁴（点（-a，0），（a，0）除外）．
（2）由（1）得C₂的方程为

x2

a2

-

y2

a4 b2

=1.

e

2 2

=

a2+ a4 b2

a2

=1+

a2

b2

=1+

a2

c2-a2

=1+

1

e 2 1 -1

，
∵e1≥

2

，∴e

2 2

≤1+

1

( 2 )2-1

=2，
∴1＜e≤

2

．

点评：本小题主要考查双曲线的简单性质、直线垂直的条件、不等式、点的轨迹方程等基本知识，考查化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．