Question

6．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）焦点在直线x-2y+4=0上，且开口向上的抛物线；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有公共的渐近线，且过点（3$\sqrt{2}$，0）的双曲线．

Answer 1

分析 （1）由题意，焦点在y轴上，分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．
（2）设出双曲线方程，利用双曲线上的点，求解即可．

解答 解：（1）由题意，焦点在y轴上，根据x=0，x-2y+4=0可得焦点坐标为（0，2），
∴抛物线的标准方程为x²=8y；
（2）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有公共的渐近线，
可设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=k，
双曲线经过点（3$\sqrt{2}$，0），∴k=2，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}-\frac{{y}^{2}}{32}$=1．

点评 本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程．属基础题．