Question

12．设函数f（x）=$sin（wx-\frac{π}{6}）+2{cos^2}\frac{wx}{2}$（w＞0），已知函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（A）=$\frac{3}{2}$，△ABC的面积为S=6$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{7}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性、周期性求得w的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，可得A的值．根据△ABC的面积为S=6$\sqrt{3}$，求得bc=24，再利用余弦定理求得b+c的值．

解答 解：（1）$f（x）=sin（wx-\frac{π}{6}）+2{cos^2}\frac{wx}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{sinw}x-\frac{1}{2}{cosw}x+1+{cosw}x$=$sin（wx+\frac{π}{6}）+1$，
∵$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，∴$T=π，w=\frac{2π}{π}=2$，∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
（2）由（1）知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，∴$f（A）=sin（2A+\frac{π}{6}）+1=\frac{3}{2}，即sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
又∵$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}，即A=\frac{π}{3}\\ S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=6\sqrt{3}，即bc=24\\{a^2}={b^2}+{c^{^2}}-2bccosA，即{b^2}+{c^{^2}}-24=28，\\ b+c=10\end{array}$．
由△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=6$\sqrt{3}$，∴bc=24．
再利用余弦定理可得 a²=28=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=（b+c）²-72，
∴（b+c）²=100，∴b+c=10．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．