Question

18．已知函数$f（x）=|2-\frac{1}{x}|，（x＞0）$．
（Ⅰ）是否存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]？若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若存在实数a，b（0＜a＜b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，$\frac{1}{2}$）时，a，b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，a∈（0，$\frac{1}{2}$），b∈（$\frac{1}{2}$，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；
（II）由题意，由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（I）的结论知只能a，b∈（$\frac{1}{2}$，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．

解答 解：（I）不存在实数a，b满足条件．
假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，
而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，
又f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{x}-2，0＜x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
（1）当a，b∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f（x）=$\frac{1}{x}$-2在（0，$\frac{1}{2}$）上为减函数，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-2=b}\\{\frac{1}{b}-2=a}\end{array}\right.$，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．
（2）当a，b∈[$\frac{1}{2}$，+∞）时，f（x）=2-$\frac{1}{x}$在∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
故有 $\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{a}=a}\\{2-\frac{1}{b}=b}\end{array}\right.$由此可得a，b是方程x²-2x+1=0的根，但方程有两个相等实根，所以此时不成立．
（3）当a∈（0，$\frac{1}{2}$），b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，显然$\frac{1}{2}$∈[a，b]，而f（$\frac{1}{2}$）=0∈[a，b]不可能，
此时a，b也不存在；
综上可知，适合条件的实数a，b不存在．
（II）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）．
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0
由（I）知a，b∈（0，$\frac{1}{2}$）或a∈（0，$\frac{1}{2}$），b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，
故只能是a，b∈（$\frac{1}{2}$，+∞）
∵f（x）=2-$\frac{1}{x}$在∈（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{a}=ma}\\{2-\frac{1}{b}=mb}\end{array}\right.$∴a，b是方程mx²-2x+1=0的两个不等实根，
且二实根均大于$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4m＞0}\\{\frac{1}{4}m-1+1＞0}\\{\frac{1}{m}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解之得0＜m＜1，
故实数m的取值范围是（0，1）．

点评 本题的考点是函数与方程的综合应用，考察了绝对值函数，函数的定义域、值域构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，本题考察了分类讨论的思想，方程的思想，考察了推理判断能力，是一道综合性较强的题，思维难度大，解题时要严谨，本题易因为考虑不完善出错．