Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-mx，（0≤x≤3）求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出a，b的值，从而求出函数的表达式即可；
（2）先求出g（x）的表达式，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，求出函数的最值，进而求出函数的值域即可．

解答 解：（1）二次函数f（x）=ax²+bx+c，a、b、c∈R，a≠0，
f（-2）=f（0）=0，可得c=0，4a-2b=0，
函数的对称轴为：x=-1，f（x）的最小值为-1．
所以-1=a-b，
∴a=1，b=2．
∴函数的解析式为：f（x）=x²+2x；
（2）g（x）=f（x）-mx=x²+2x-mx=x²+（2-m）x，（0≤x≤3），
对称轴x=$\frac{m-2}{2}$，
①对称轴x=$\frac{m-2}{2}$＜0，即m＜2时：
g（x）在[0，3]递增，
g（x）_min=g（0）=0，g（x）_max=g（3）=15-3m，
故函数g（x）的值域是[0，15-3m]，
②0≤$\frac{m-2}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即2≤m＜5时：
g（x）在[0，$\frac{m-2}{2}$）递减，在（$\frac{m-2}{2}$，3]递增，
g（x）_min=g（$\frac{m-2}{2}$）=-$\frac{{（m-2）}^{2}}{4}$，g（x）_max=g（3）=15-3m，
故函数g（x）的值域是[-$\frac{{（m-2）}^{2}}{4}$，15-3m]，
③$\frac{3}{2}$≤$\frac{m-2}{2}$＜3，即5≤m＜7时：
g（x）在[0，$\frac{m-2}{2}$）递减，在（$\frac{m-2}{2}$，3]递增，
g（x）_min=g（$\frac{m-2}{2}$）=-$\frac{{（m-2）}^{2}}{4}$，g（x）_max=g（0）=0，
故函数g（x）的值域是[-$\frac{{（m-2）}^{2}}{4}$，0]，
④对称轴x=$\frac{m-2}{2}$≥3，即m≥7时：
g（x）在[0，3]递减，
g（x）_max=g（0）=0，g（x）_min=g（3）=15-3m，
故函数g（x）的值域是[15-3m，0]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．