Question

5．对任意正整数n，数列{a_n}满足$\sum_{i=1}^{n}$a_i=n³，则$\sum_{i=2}^{2009}$$\frac{1}{{a}_{i}-1}$=$\frac{2008}{6027}$．

Answer 1

分析 由题意可得S_n=n³，运用当n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，求得数列的通项，可得$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3{n}^{2}-3n}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），再由裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：由题意可得S_n=n³，
当n=1时，a₁=S₁=1，
n=2时，a₁+a₂=8，可得a₂=7，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n³-（n-1）³
=n²+n（n-1）+（n-1）²=3n²-3n+1，
即有$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3{n}^{2}-3n}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
可得$\sum_{i=2}^{2009}$$\frac{1}{{a}_{i}-1}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2009}$）
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2009}$）=$\frac{2008}{6027}$．
故答案为：$\frac{2008}{6027}$．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查数列的通项和求和的关系：当n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，考查运算能力，属于中档题．