Question

（2012•江西）已知数列{a_n}的前n项和S_n=kcⁿ-k（其中c，k为常数），且a₂=4，a₆=8a₃．
（1）求a_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据前n项和求出数列的通项表达式；再结合a₂=4，a₆=8a₃求出c，k，即可求出数列的通项；
（2）直接利用错位相减法求和即可．

解答：解：（1）由S_n=kcⁿ-k，得a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1；   （n≥2），
由a₂=4，a₆=8a₃．得kc（c-1）=4，kc⁵（c-1）=8kc²（c-1），解得

c=2 k=2

；
所以a₁=s₁=2；
a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1=2ⁿ，（n≥2），
于是a_n=2ⁿ．
（2）：∵na_n=n•2ⁿ；
∴T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ；
  2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹；
∴-T_n=2+2²+2³…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹；
即：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题主要考察数列求和的错位相减法．数列求和的错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列．数列求和的错位相减法也是这几年高考的常考点．