Question

设函数f(x)=

4x-1

4x+1

（1）解不等式f(x)＜

1

3

；（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式代入不等式，整理后得到关于4^x的不等式，把不等式左右两边化为底数为2的幂形式，根据指数函数为增函数，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集；
（2）法一：把函数解析式整理为f（x）=1+

-2

4x+1

，由4^x大于0，得到4^x+1的范围，可得到

-2

4x+1

的范围，进而确定出1+

-2

4x+1

的范围，即为函数f（x）的值域；
法二：设y=f（x），从函数解析式中分离出4^x，根据4^x大于0列出关于y的不等式，变形后得到y+1与y-1异号，转化为两个一元一次不等式，求出不等式的解集，即为函数的值域．

解答：解：（1）将f（x）的解析式代入不等式得：

4x-1

4x+1

＜

1

3

，
整理得：3•4^x-3＜4^x+1，即4^x=2^2x＜2=2¹，
∴2x＜1，
解得：x＜

1

2

，
则不等式的解集为{x|x＜

1

2

}；
（2）法一：f（x）=

4x-1

4x+1

=1+

-2

4x+1

，
∵4^x＞0，∴4^x+1＞1，
∴-2＜

-2

4x+1

＜0，
∴-1＜1+

-2

4x+1

＜1，
则f（x）的值域为（-1，1）；
法二：∵y=f（x）=

4x-1

4x+1

，
∴4^x=

y+1

1-y

＞0，即

y+1

y-1

＜0，
可化为：

y+1＞0 y-1＜0

或

y+1＜0 y-1＞0

，
解得：-1＜y＜1，
则f（x）的值域为（-1，1）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：指数函数的单调性，指数函数的定义域与值域，以及一元一次不等式的解法，利用转化的思想，是高考中常考的题型．