Question

9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=S₃=3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{b_n-a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列{a_n}的{a_n}的通项公式．
（2）由{b_n-a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求出b_n=2^n-1+2n+3，由此利用分组和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=S₃=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{3{a}_{1}+\frac{3（3-1）}{2}d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=-1，d=2，
∴a_n=-1+（n-1）×2=2n-3．
（2）∵{b_n-a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴b_n-a_n=b_n-2n+3=2^n-1，
∴b_n=2^n-1+2n+3，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+2（1+2+3+…+n）+3×n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+2×$\frac{1+n}{2}$+3n
=2ⁿ+4n．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和分组求和法的合理运用．