Question

（2013•河东区二模）己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x²．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（　　）

• A．0
• B．0或-

  1

  2

• C．0或-

  1

  4

• D．-

  1

  4

  或-

  1

  2

Answer 1

分析：由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可．

解答：解：由对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，
结合函数为偶函数，且当0≤x≤1对，f（x）=x²可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，

当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0，
当直线为n时，直线与曲线相切，联立

y=x2 y=x+a

，消y可得x²-x-a=0，
由△=1+4a=0可得a=-

1

4

，故a的值为0，或-

1

4

，
故选C

点评：本题考查根的存在性与个数的判断，涉及函数的奇偶性与周期性，数形结合的思想，属中档题．