Question

1．已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）当a=2时，将函数f（x）写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x≤2}\\{{x}^{2}-2x，x＞2}\end{array}\right.$，从而作其图象，并写出单调增区间；
（Ⅱ）化简f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≤a}\\{{x}^{2}-ax，x＞a}\end{array}\right.$，分类讨论以确定函数的单调性，从而比较以确定函数的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}，x≤2}\\{{x}^{2}-2x，x＞2}\end{array}\right.$，
故作其图象如右图，
函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax，x≤a}\\{{x}^{2}-ax，x＞a}\end{array}\right.$，
①当1＜$\frac{a}{2}$＜2，即2＜a＜4时，
f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上是增函数，在（$\frac{a}{2}$，2]上是减函数；
而f（1）=a-1，f（2）=2a-4，
故f（1）-f（2）=a-1-2a+4=3-a，
故当2＜a≤3时，
f（1）≥f（2），
故f_min（x）=f（2）=2a-4；
当3＜a＜4时，
f（1）＜f（2），
故f_min（x）=f（1）=a-1；
②当a≥4时，f（x）在[1，2]上是增函数，
故f_min（x）=f（1）=a-1；
综上所述，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-4，2＜a≤3}\\{a-1，a＞3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用．