Question

学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路①堵车的概率为

1

4

，不堵车的概率为

3

4

；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为1-p．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为

7

16

，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由已知条件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

，由此能求出走公路②堵车的概率．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）和P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答：解：（1）由已知条件得

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•(1-p)+(

3

4

)2•p=

7

16

，
即3p=1，则p=

1

3

，
答：走公路②堵车的概率为

1

3

．
（2）解：ξ可能的取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=

3

4

•

3

4

•

2

3

=

3

8

，
P（ξ=1）=

7

16

，
P（ξ=2）=

1

4

•

1

4

•

2

3

+

C

1 2

•

1

4

•

3

4

•

1

3

=

1

6

，
P（ξ=3）=

1

4

•

1

4

•

1

3

=

1

48

．
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
	3 8	7 16	1 6	1 48

所以Eξ=0•

3

8

+1•

7

16

+2•

1

6

+3•

1

48

=

5

6

答：数学期望为

5

6

．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，是中档题，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．