Question

定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的

a

=(m，n)，

b

=(p，q)，令

a

?

b

=mq-np．给出以下四个命题：（1）若

a

与

b

共线，则

a

?

b

=0；（2）

a

?

b

=

b

?

a

；（3）对任意的λ∈R，有(λ

a

)?

b

=λ(

a

?

b

)；（4）(

a

*

b

) 2+(

a

•

b

) 2=|

a

|2?|

b

|2．（注：这里

a

?

b

指

a

与

b

的数量积）其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：依据题中的定义运算“*”，逐一检验各个选项中的等式两边是否相等，从而得出结论．

解答：解：（1）设

a

=（x，y），∵若

a

与

b

共线，则

b

=（λx，λy ），

a

*

b

=x•λy-y•λx=0，故（1）正确；
（2）

a

?

b

=mq-np，而

b

*

a

=np-mq，故（2）不正确；
（3）对任意的λ∈R，有 λ

a

*

b

=（λm，λn ）*（p，q）=λmq-λnp，
λ（ 

a

*

b

）=λ （mq-np）=λmq-λnp，∴λ

a

*

b

=λ（ 

a

*

b

） 成立，故（3）正确；
（4） (

a

*

b

)2+(

a

•

b

)2=（mq-np）²+（mp+nq）²=m²q²+n²p²+m²p²+n²q²，
|

a

|2|

b

|2=（m²+n²）（p²+q²）=m²q²+n²p²+m²p²+n²q²，故（4）正确．
综上，（1），（3），（4）正确，
故答案为：（1），（3），（4）．

点评：本题考查两个向量的数量积的运算，共线向量的性质，属于创新题．