Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1）都有f（m）+f（n）=f（），且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性；
（3）判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

解：（1）对条件中的m，n，令m=n=0，f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0，
（2）令n=x，m=-x，可得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（），
∵x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴＜0，||＜1，
由条件（2）知f（）＞0，从而f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（-1，1）上单调递减．
分析：（1）令m=n=0，可求f（0）的值；
（2）令n=x，m=-x，可得f（-x）+f（x）=0，从而可判断f（x）的奇偶性；
（3）利用单调性的定义即可判断．设-1＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=f（），最后可判断f（）＜0．
点评：本题考查抽象函数及其用，着重考查函数的奇偶性与单调性，特别是赋值法的考查，属于中档题．