Question

如图所示的多面体中，，PA⊥面ABC，PA=1，M、D分别是所在线段的中点，PADN为矩形．
（I）求证：MN∥面PAC；
（II）求平面MNC与平面PAC所成锐二面角大小θ．

Answer 1

【答案】分析：（I）以A为原点，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间右手直角坐标系，利用向量法能够证明MN∥面PAC．
（II）求出面MNC的一个法向量和面PAC的一个法向，由此能求出平面MNC与平面PAC所成锐二面角大小θ．
解答：解：（I）以A为原点，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴，
建立空间右手直角坐标系，
∵，PA⊥面ABC，PA=1，
M、D分别是所在线段的中点，PADN为矩形，
∴，
，．…（2分）
∵，
∴，
∵为面PAC的一个法向量，
∴MN∥面PAC．…（6分）
（II）∵，C（0，，0），∴，
设面MNC的一个法向量为，
由，
取，则．
取面PAC的一个法向量，
则，
∴．…（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．