Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心过椭圆左顶点的圆与直线相切于，且满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，问内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有，最大值

【解析】

（1）由已知可得到直线的距离等于，结合，建立方程组，求解即可得出椭圆的标准方程；

（2）即求内切圆的半径是否有最大值，因为周长为，转化为的面积是否有最大值，设，则，再设出直线的方程为，与椭圆方程联立，得出关系，表示为的函数，根据其特征求出范围，即可得出结论.

（1）由已知椭圆方程为，

设椭圆右焦点，由到直线的距离等于，

得，，

又，，

又，求得，．

椭圆方程为，

（2）设，，设的内切圆半径为，

的周长为，

所以，

根据题意，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由，得，

，，

，，

所以，

令，则，所以，

令，则当时，，

单调递增，所以，，

即当，，直线的方程为时，

的最大值为3，此时内切圆半径最大，

内切圆面积有最大值．