Question

【题目】已知曲线：与曲线：交于，两点，且的周长为．

（Ⅰ）求曲线的方程．

（Ⅱ）设过曲线焦点的直线与曲线交于，两点，记直线，的斜率分别为，．求证：为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

（Ⅰ）确定圆的圆心和半径，根据周长可求得，由圆心到直线距离可确定弦的一个端点坐标，代入抛物线方程求得后即可得到结果；

（Ⅱ）设直线，，，将方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，利用，代入韦达定理的结论整理可得定值.

（Ⅰ）曲线方程可整理为：，则圆心，半径，

又曲线，关于轴对称，则轴，

的周长为，，

到的距离，故弦的一个端点坐标为，

，解得：，抛物线的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由于直线不与轴重合，可设：，

设，，

由，消去整理得：，，，

，

为定值．