Question

【题目】已知函数．

（1）若在处的切线的方程为，求此时的最值；

（2）若对任意，，不等式成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），无最小值；（2）

【解析】

（1）先对函数进行求导，由求出值，再根据导函数的零点进行分类讨论，求出函数的单调性，从而得解；

（2）由得，构造函数，通过求导，求出的最小值，从而得到，即，再构造函数，通过求导，讨论的单调性，利用的最大值小于0，从而得出结果.

（1）由得，

令得：，

由题意：，解得，

所以，，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

因此，，无最小值.

（2），

令，

，在上单调递增，

，

，

令，，

，

，，

①当，即时，，在上单调递增，

若使恒成立，只需，即，解得，

所以，；

②当，即时，，在上单调递减，

若使恒成立，只需，即，合题意；

②当，即时，

令，解得：，

由得：，

由得：，

所以，在上单调递增，在上单调递减，

，

，即，解得，

又，所以合题意

综上，的取值范围为.