Question

【题目】设，函数.

（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分类讨论，见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函数的定义域以及导函数，然后分类讨论、或，根据导数与函数单调性的关系即可求解.

（Ⅱ）由导数的几何意义可得，求得，从而可得解析式，由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减，不等式恒成立转化为恒成立，令，可知在内单减，只需恒成立，分离参数法，转化为即可.

（Ⅰ）的定义域是.

.

（1）当时，，的定义域内单增；

（2）当时，由得，.

此时在内单增，在内单减；

（3）当时，，的定义域内单减.

（Ⅱ）因为，所以，.

此时.

由（Ⅰ）知，时，的定义域内单减.

不妨设，

则，即，

即恒成立.

令，，则在内单减，即.

，，.

而，当且仅当时，取得最小值，

所以，故实数的取值范围是.