Question

【题目】如图所示，在直三棱柱中，，，，，点在线段上.

（1）若，求异面直线和所成角的余弦值；

（2）若直线与平面所成角为，试确定点的位置.

Answer 1

【答案】（1）（2）点M是线段的中点.

【解析】

（1）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到，，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；

（2）设，得，直线与平面所成角为，得到关于的方程，解方程即可得到点的位置.

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

（1）因为，所以.

所以，.

所以.

所以异面直线和所成角的余弦值为.

（2）由，，，

知，.

设平面的法向量为，由得，

令，则，，所以平面的一个法向量为.

因为点在线段上，所以可设，所以，

因为直线与平面所成角为，所以.

由，得，

解得或.

因为点在线段上，所以，

即点是线段的中点.