【题目】如图，一条东西流向的笔直河流，现利用航拍无人机
监控河流南岸相距150米的
两点处（
在的正西方向），河流北岸的监控中心
在的正北方100米处，监控控制车
在的正西方向，且在通向的沿河路上运动，监控过程中，保证监控控制车到无人机和到监控中心的距离之和150米，平面
始终垂直于水平面
，且
，两点间距离维持在100米.
（1）当监控控制车到监控中心的距离为100米时，求无人机距离水平面的距离；
（2）若记无人机看处的俯角（
），监控过程中，四棱锥
内部区域的体积为监控影响区域
，请将表示为关于
的函数，并求出监控影响区域的最大值.
【答案】（1）
米；（2）
，
立方米
【解析】
（1）过D作
，垂足为F，由面面垂直的性质定理可知，
平面ABCE，即线段DF长为点D到平面ABCE的距离，在
中利用面积相等求出DF即可；
（2）由（1）知，DF是四棱锥D-ABCE的高，在中，把DF表示成关于
的表达式，再利用四棱锥的体积公式把四棱锥
内部区域的体积为监控影响区域
表示成关于的函数，对函数
进行求导，利用导数判断其单调性并求其最大值.
（1）过D作，垂足为F，
又因为平面
平面ABCE，平面
平面
，
所以平面ABCE，
所以线段DF长为点D到平面ABCE的距离，
在中，
，
（米），
（米），
所以
（米）.
即点D到水平面ABCE的距离为米.
（2）由（1）知，DF是四棱锥D-ABCE的高，
在中，因为（米），
，
所以
（米），
（米），
所以
（米），
所以梯形ABCE的面积
（米），
所以四棱锥的体积
，
分析知，
，且
，
所以V关于的函数关系为
，
.
因为，
所以当
时，
；当
时，
，
即当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以当
，即
时，
（立方米）.
即监控影响区域的最大值为立方米.
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【题目】小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．规定第一次从小明开始．
（1）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
（2）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为
，求随机变量的分布列与期望．
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【题目】平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，且
）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点P的极坐标为
，Q为曲线上的动点，求
的中点M到曲线的距离的最大值.
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆
和圆
的极坐标方程分别是
和
.
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；
（2）若射线
：
与圆的交点为O、P，与圆的交点为O、Q，求
的最大值.
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【题目】如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求异面直线
与
所成角的大小；
（3）点
在线段上，且
，点
在线段上，若
平面
，求
的值（用含
的代数式表示）.
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【题目】某饮料厂生产
两种饮料．生产1桶
饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶
饮料需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天饮料的产量不超过饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产饮料的时间不低于生产饮料的时间，每桶饮料的利润是每桶饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产饮料
桶，饮料
桶时（
）利润最大，则
_____．
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【题目】若点
在平面
外，过点作面的垂线，则称垂足
为点在平面内的正投影，记为
.如图，在棱长为
的正方体
中，记平面
为
，平面
为
，点
是棱
上一动点（与
不重合），
，
.给出下列三个结论：①线段
长度的取值范围是
；②存在点使得
平面；③存在点使得
.其中正确结论的序号是_______.
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