Question

【题目】如图，在三棱柱中，为正三角形，，， ，点在线段上，且.

（1）证明：；

（2）求和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1)要证明,只需证明平面,只需证明,由，，所以，所以,因为，所以，又,则易证.(2) 取中点，证明平面，建立空间直角坐标系，和平面所成角的正弦值就是和设平面的一个法向量所成角的余弦值

（1）证明：由，，所以，所以，

因为，所以，

又，.

所以平面，所以.

（2）解：由（1）知，又，所以，

又，，所以平面，

平面，所以平面平面.

取中点，由为正三角形知，平面，

又平面平面，所以平面，

以为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，

，，

，

设平面的一个法向量，则且，

所以，取，则，，

.

所以，

所以直线和平面所成角的正弦值为.