Question

【题目】已知函数，，、.

（1）若，且函数的图象是函数图象的一条切线，求实数的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）若对任意实数，函数在上总有零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）由得出，由此得出，设切点为，由题意得出，可求出的值；

（2）由参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析得出，由此可得出实数的取值范围；

（3）根据题意，对函数求导可得，对实数分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出实数的取值范围.

（1）由，得，，

设函数与函数相切于点，则，

由题意可得，解得，因此，；

（2）由题意得，恒成立．

令，，则，

再令，则，令，解得.

故当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

从而，函数在上有最小值，

即有在上恒成立，

所以，函数在上单调递增，故，所以.

因此，实数的取值范围是；

（3）由题意可得，其导数.

①当时，对任意的恒成立，则函数在上为增函数，

若函数在上总有零点，则有，解得；

②当时，令，解得.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

则函数在处取得最小值，即.

（i）当时，即当时，对任意的，，

则函数在区间上单调递增，

若函数在区间上恒有零点，则，解得；

（ii）当时，即当时，若，则；若，则.

则函数在上单调递减，在上单调递增.

，可得.

构造函数，其中，则，

所以，函数在区间上单调递减，则，.

综上所述，实数的取值范围是.