Question

设函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[-1，

1

2

]，则以下结论中错误的是（　　）

• A．b-a的最小值为

  2π

  3

• B．b-a的最大值为

  4π

  3

• C．a不可能等于2kπ-

  π

  6

  ，k∈Z
• D．b不可能等于2kπ-

  π

  6

  ，k∈Z

Answer 1

分析：作出正弦函数 y=sinx的图象，并加以观察，并根据函数的单调性对A、B、C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得A、B、C都正确，而D项错误，由此得到答案．

解答：解：作出正弦函数 y=sinx的图象，加以观察得
对于A，当a=-

π

2

且b=

π

6

时，函数在区间[a，b]上单调增，
可得函数的最小值为sin（-

π

2

）=-1；函数的最大值为sin

π

6

=

1

2

此时函数的值域为[-1，

1

2

]，b-a的达到最小值

2π

3

，故A正确；．
对于B，当a=-

7π

6

且b=

π

6

时，函数在区间[a，b]上先单调递减，
再单调递增，
函数的最小值为sin（-

π

2

）=-1；且最大值为sin（-

7π

6

）=sin

π

6

=

1

2

，
此时函数的值域为[-1，

1

2

]，b-a的达到最大值

4π

3

，故B正确；．
对于C，如果a=2kπ-

π

6

（k∈Z），由于sina=-

1

2

没有达到最小值1，则b≥2kπ+

3π

2

才能出现函数的最小值1，而此时函数的最大值为1而不是

1

2

，与题设矛盾
因此a不可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z），可得C正确；
对于D，当a=-

7π

6

且b=-

π

6

时，根据函数图象可得函数的值域为[-1，

1

2

]，
说明b值可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z），故D不正确
故选：D

点评：本题给出正弦函数的几个结论，要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．