Question

已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)(Ⅱ) 当时单调递增区间是，单调递减区间是，当时单调递增区间是和，单调递减区间是，当时单调递增区间是 ，当时单调递增区间是和，单调递减区间是 (Ⅲ)

【解析】

试题分析：解：.                          1分

（Ⅰ），解得.                         3分

（Ⅱ）.              4分

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.      5分

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   6分

③当时，， 故的单调递增区间是.  7分

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   8分

（Ⅲ）由已知，在上有.            9分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故.  10分

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故. 

由可知，，，

所以，，，

综上所述，.                          12分

考点：函数导数的几何意义及函数单调性最值

点评：第一问利用导数的几何意义，将切线斜率转化为导数值，第二问在求单调区间时要对参数分情况讨论，从而解二次不等式得到不同的解集；第三问将不等式成立问题转化为求函数最值是函数综合题经常用到的转化思路