Question

（本小题14分） 已知函数，若

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上有两个零点，求实数b的取值范围；

（3）当

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（1，] ；（3）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求切线的斜率，由点斜式可得切线方程；（2）先求 ，然后确定函数

g(x)的单调区间，找到满足函数在区间上有两个零点d的条件，解之即可；（3）欲证原不等式可转化为证，在构造函数，由函数h(x)的单调性可证的<0，即可得证.

试题解析：(1)因为，

所以曲线在点处的切线方程为

（2）=，(x>0)

=，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.

所以的单调递增区间是（1，+）,单调递减区间（0, 1）

x=1时，取得极小值.

因为函数在区间 上有两个零点，所以 ，解得，

所以b的取值范围是（1，

（3）当

即证：

即证：

构造函数：

当时，

所以，

又，所以

即

所以

考点：1.导数的几何意义；2.函数的零点；3.导数的应用.