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    已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，延长至使得，线段上存在异于的点满足.

    （1）   求椭圆的方程；

    （2）   求点的轨迹的方程；

    （3）   求证：过直线上任意一点必可以作两条直线

    与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.

     

    【答案】

    （1）；（2）；（3）直线经过定点（1,0）.

    【解析】本试题主要考查了圆与直线，以及椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系的综合运用。

    解：（1）依题意得，    ………………………………………………2分

    解得，∴ ……………………………………………………………3分

    椭圆的方程为   …………………………………………………………………4分

    （2）解法1：设点T的坐标为(x,y).

    当重合时，点坐标为和点，     …………………………………5分

    当不重合时，由，得.  ……………………………6分

    由及椭圆的定义，， …………7分

    所以为线段的垂直平分线，T为线段的中点

    在中，，  …………………………………………8分

    所以有.

    综上所述，点的轨迹C的方程是.    …………………………………9分

    （3）   直线与相离，

    过直线上任意一点可作圆的两条切线   …………10分

    所以

    所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上，  …………………………11分

    其方程④      …………………………12分

      EF为两圆的公共弦，③-④得：EF的方程为4X+ty -4=0      ………13分

    显然无论t为何值，直线ef经过定点(1,0).           ………………14分

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为
    1
    2
    且经过点P(1，
    3
    2
    )    ．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
    （3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的左、右焦点分别为，其右准线上上存在点（点在 轴上方），使为等腰三角形．

    ⑴求离心率的范围；

        ⑵若椭圆上的点到两焦点的距离之和为，求的内切圆的方程．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三下学期假期检测考试理科数学试卷 题型：解答题

    已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年福建省三明市高三上学期三校联考数学理卷 题型：解答题

    （本题满分14分）     已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中

    F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且  

    （I）求椭圆C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年云南省德宏州高三高考复习数学试卷 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为．

    （I）求椭圆的标准方程；

    （II）过点的直线与该椭圆交于M、N两点，且，求直线的方程．

     

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