Question

已知函数f（x）=|x+a|．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）＜2存在实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当a=-1时，不等式即|x-1|-|x+1|≥1，化简可得

x≤-1 2≥1

，或

-1＜x≤1 -2x≥1

，或

x＞1 -2≥1

．解出每个不等式组的解集，再取并集，即为所求．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），则由绝对值的意义可得g（x）的最小值为2|a|，依题意可得2＞2|a|，由此求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ） 当a=-1时，不等式f（x）≥|x+1|+1可化为|x-1|-|x+1|≥1，
化简可得

x≤-1 2≥1

，或

-1＜x≤1 -2x≥1

，或

x＞1 -2≥1

．
解得x≤-1，或-1＜x≤-

1

2

，即所求解集为{x|x≤-

1

2

}．  …（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），则g（x）=|x+a|+|x-a|≥2|a|，∴g（x）的最小值为2|a|．
依题意可得2＞2|a|，即-1＜a＜1．
故实数a的取值范围是（-1，1）．    …（10分）

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于中档题．