Question

定义：若对定义域D内的任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂）均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，则称函数y=f（x）是D上的“平缓函数”．
（1）h（x）=x²-x是否为R上的“平缓函数”，并说明理由；
（2）试证明对?k∈R，f（x）=x²+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（3）若数列{x_n}，?n∈N^*中，总有|x_n+1-x_n|≤

1

(2n+1)2

，若y=sinx为“平缓函数”，求证|y_n+1-y₁|＜1．．

Answer 1

分析：（1）取x₁=3，x₂=1，则|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，即可得到结论；
（2）区间（-1，1）上的任意两个x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k||x₁-x₂|，分类讨论，即可得到结论；
（3）利用y=sinx是R上的“平缓函数”，可得|y_n+1-y_n+1|≤|x_n+1-x_n|≤

1

(2n+1)2

＜

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），因此可得结论．

解答：（1）解：取x₁=3，x₂=1，则|h（x₁）-h（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，因此h（x）=x²-x不是R上的“平缓函数”；
（2）证明：区间（-1，1）上的任意两个x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k||x₁-x₂|，
若k≥0，则当x₁，x₂∈（

1

2

，1）时，x₁+x₂+k＞1，从而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|；
若k＜0，则当x₁，x₂∈（-1，-

1

2

）时，x₁+x₂+k＜-1，∴|x₁+x₂+k|＞1，从而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，
∴?k∈R，f（x）=x²+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（3）证明：∵y=sinx是R上的“平缓函数”，
∴|y_n+1-y_n+1|≤|x_n+1-x_n|≤

1

(2n+1)2

＜

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴|y_n+1-y₁|＜

1

4

[（

1

n

-

1

n+1

）+（

1

n-1

-

1

n

）+…+（1-

1

2

）]=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

∴|y_n+1-y₁|＜1．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．