Question

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的定义域为开区间（3，10），函数f（x）的值域是一个左闭右开的区间，则满足要求的函数f（x）的解析式可以是f（x）=

 

（写出一个解析式即可）．

Answer 1

分析：要求值域为左闭右开，必然有最小值1个且不能有最大值，区间（3，10）的长度应该不长于

T

2

，根据这些信息可以得到满足要求的函数f（x）的解析式．

解答：解：∵函数f（x）的值域是一个左闭右开的区间，
∴函数f（x）必然有且只有一个最小值，而且不能有最大值，
   又 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的定义域为开区间（3，10），
  

T

2

＞7，即

2π

ω

＞14，不妨令

2π

ω

=16，则ω=

π

8

，再令φ=π，A=1，
   则f(x)=sin(

π

8

x+π)，由3＜x＜10， 

11π

8

＜

πx

8

+π＜

9π

4

，
∴-1≤f(x)＜

2

2

，满足题意．
  故答案为：f(x)=sin(

π

8

x+π)．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，解决问题的难点在于对“函数f（x）的值域是一个左闭右开的区间”的理解与应用，解决的方法是特值法，属于难题．