Question

（1）证明：函数y=x³+x是R上的增函数；
（2）讨论函数f（x）=

a+x

x

（a＞0）在定义域上的单调性并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过求导得出导函数大于0，从而判断函数的单调性；
（2）先求出函数的定义域，设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，通过讨论自变量所在的区间，从而判断函数的单调性．

解答： 证明：（1）∵y′=3x²+1＞0，
∴函数y=x³+x是R上的增函数；
（2）f(x)=

a+x

x

=

a

x

+

x

，x∈(0，+∞)，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(

a

x1

+

x1

)-(

a

x2

+

x2

)
=

a

x1

-

a

x2

+

x1

-

x2

=(

x2

-

x1

)(

a

x1x2

-1)，
∵0＜x₁＜x₂，∴

x2

＞

x1

，
当x1，x2∈(0，

a

)时，

a

x1x2

＞1，
∴

x2

-

x1

＞0，

a

x1x2

-1＞0，
得f（x₁）＞f（x₂），
当x1，x2∈(

a

，+∞)时，

a

x1x2

＜1，
∴

x2

-

x1

＞0，

a

x1x2

-1＜0，
得f（x₁）＜f（x₂），
综上所述：f（x）在(0，

a

]上为减函数，在(

a

，+∞)上为增函数．

点评：本题考查了函数的单调性的判断及证明问题，是一道基础题．