Question

【题目】已知函数f（x）= x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a的值；
（2）设f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证：﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，∴f′（1）=4﹣2a，

由题意4﹣2a=﹣ ，解得：a=

（2）解：证明：由题意，x1，x2为f′（x）=0的两根，

∴ ，∴2＜a＜3，

由x1+x2=a＞2，x1x2=3﹣a＜1，知x1＜1＜x2，

结合单调性有f（x2）＜f（1）= ﹣a＜﹣ ，

又f（x1）+f（x2）= （ + ）﹣a（x1+x2）+（3﹣a）lnx1x2=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），

设h（a）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），

则h′（a）=﹣a﹣ln（3﹣a），

h″（a）= ＞0，故h′（a）在（2，3）递增，又h′（2）=﹣2＜0，

a→3时，h′（a）→+∞，

∴a0∈（2，3），当a∈（2，a0）时，h（a）递减，当a∈（a0，3）时，h（a）递增，

∴h（a）min=h（a0）=﹣ +a0﹣3+（3﹣a0）（﹣a0）= ﹣2a0﹣3＞﹣5，

∴a∈（2，3），h（a）＞﹣5，

综上，﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣

【解析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）的值，求出a的值；（2）根据x1 ， x2是方程f′（x）=0的根，得到关于a的不等式组，求出a的范围，求出f（x1）+f（x2）的表达式，设h（a）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．