Question

【题目】已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且方程为或.

【解析】

（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，结合韦达定理可得到参数值.

（1）直线的一般方程为.

依题意，解得，故椭圆的方程式为.

（2）假若存在这样的直线，

当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，

所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.

由，得.

由，得.

记，的坐标分别为，，

则，，

而 .

要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，

即 ，

所以 ，

整理解得或，

所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.