Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线： ，直线与抛物线交于， 两点.

（1）若直线， 的斜率之积为，证明：直线过定点；

（2）若线段的中点在曲线： 上，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）直线的方程为，由，得： ，根据韦达定理及斜率公式可得，得，∴直线的方程为，直线过定点；（2）设，则， ，代入抛物线方程可得，由，可得，结合，利用弦长公式可得 .

试题解析：设， ，

（1）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由，得： ，

， ， ，

，

由已知： ，所以，

∴直线的方程为，所以直线过定点.

（2）设，则， ，

将带入： 得：

，∴.

∵，∴，∴，

又∵ ，∴，

故的取值范围是： .

，将代入得：

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最大值为.