【题目】函数f(x)= ,若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直(其中e为自然对数的底数).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)求证:当x>1时, > .
【答案】
(1)解:∵f′(x)= ,
f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为﹣ ,
由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直,
可得f′(e)=﹣ ,即有﹣ =﹣
解得得a=1,
∴f(x)= ,f′(x)=﹣ (x>0)
当0<x<1,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当x>1时,f′(x)<0,f(x)为减函数.
∴x=1是函数f(x)的极大值点
又f(x)在(m,m+1)上存在极值
∴m<1<m+1 即0<m<1
故实数m的取值范围是(0,1)
(2)解:不等式 >
即为 >
令g(x)=
则g′(x)= ,
再令φ(x)=x﹣lnx,则φ′(x)=1﹣ = ,
∵x>1∴φ′(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴φ(x)>φ(1)=1>0,g′(x)>0,
∴g(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴x>1时,g(x)>g(1)=2
故 > .
令h(x)= ,则h′(x)= ,
∵x>1∴1﹣ex<0,h′(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是减函数
∴x>1时,h(x)<h(1)= ,
所以 >h(x),即 >
【解析】(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得a=1,求导数,求单调区间和极值,令m<1<m+1,解不等式即可得到取值范围;(2)不等式 > 即为 > ,令g(x)= ,通过导数,求得 > ,令h(x)= ,运用导数证得h(x)<h(1)= ,原不等式即可得证.
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数,需要了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案.
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【题目】设对于任意实数x,不等式|x+6|+|x﹣1|≥m恒成立. (I) 求m 的取值范围;
(Ⅱ)当m取最大值时,解关于x的不等式:|x﹣4|﹣3x≤2m﹣9.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线: ,直线与抛物线交于, 两点.
(1)若直线, 的斜率之积为,证明:直线过定点;
(2)若线段的中点在曲线: 上,求的最大值.
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【题目】如图,四边形ABCD中,△BCD为正三角形,AD=AB=2, ,AC与BD中心O点,将△ACD沿边AC折起,使D点至P点,已知PO与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求证:平面PAC⊥平面PDB;
(2)求已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
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【题目】如图,P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是( )
A.①②③④
B.①③
C.①④
D.②④
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【题目】已知抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x+1=0,直线l过点T(t,0)(t>0)且与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线方程,并证明: 的值与直线l倾斜角的大小无关;
(2)若P为抛物线上的动点,记|PT|的最小值为函数d(t),求d(t)的解析式.
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元.
若学生宿舍建筑为x层楼时,该楼房综合费用为y万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和,写出的表达式;
为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=2an﹣n.
(Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)记bn= + ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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