【题目】已知抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x+1=0,直线l过点T(t,0)(t>0)且与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线方程,并证明:
的值与直线l倾斜角的大小无关;
(2)若P为抛物线上的动点,记|PT|的最小值为函数d(t),求d(t)的解析式.
【答案】
(1)解:由题意可知:准线方程x=﹣1,则﹣ =﹣1,则p=2,
∴抛物线的标准方程为:y2=4x,
证明:若直线l的斜率不存在,则其方程为x=t,代入y2=4x得,A(t,2 ),B(t,﹣2
),
则
=t2﹣4t,
则若直线l的斜率存在,设其斜率为 (k≠0),则l的方程为x=my+t,
联立 ,整理得:y2﹣4ky﹣4t=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=﹣4t,
x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2=t2.
=x1x2+y1y2=t2﹣4t,
综上,
的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关
(2)解:设P(x,2 ),则丨PT丨2=(x﹣t)2+(2
﹣0)2=x2﹣2(t﹣2)x+t2,(x>0),
由二次函数的性质可知:当对称轴x=t﹣2<0,即0<t<2时,当x=0时,丨PT丨取最小值,最小值为t,
当t﹣2≥0时,即x=t﹣2时,取最小值,丨PT丨取最小值,最小值为2 ,
d(t)的解析式,d(t)=
【解析】(1)由题意可知p=2,求得抛物线方程,当直线斜率存在时,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得
的值与直线l倾斜角的大小无关;(2)利用点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求得|PT|的最小值,求得d(t)的解析式.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
的左右顶点为
,右焦点为
,一条准线方程是
,点
为椭圆
上异于
的两点,点
为
的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线交直线
于点
,记直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值;
(3)若,求直线
斜率的取值范围。
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【题目】如图,在几何体A1B1D1﹣ABCD中,四边形A1B1BA与A1D1DA均为直角梯形,且AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,AB=2A1D1=2A1B1=4,AA1=4,P为DD1的中点.
(Ⅰ)求证:AB1⊥PC;
(Ⅱ)求几何体A1B1D1﹣ABCD的表面积.
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【题目】函数f(x)= ,若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直(其中e为自然对数的底数).
(1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)求证:当x>1时, >
.
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【题目】已知函数f(x)=sinωx﹣ cosωx(ω>0),若方程f(x)=﹣1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为( )
A.( ,
]
B.( ,
]
C.( ,
]
D.( ,
]
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【题目】如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.
(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD
(2)若二面角A﹣EF﹣C是二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.
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【题目】已知命题关于
的不等式
的解集是
,命题
函数
的定义域为
.
(1)如果为真命题,求实数
的取值范围;
(2)如果为真命题,
为假命题, 求实数
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1 , C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ= (ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
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