Question

空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则BC与AD的位置关系是

 

；四边形EFGH是

 

形；当

 

时，四边形EFGH是菱形；当

 

时，四边形EFGH是矩形；当

 

时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：利用反证法得到BC，AD是异面直线；利用三角形的中位线平行且等于底边的一半判断出EFGH的形状及有其形状判断出AC，BD的位置关系．

解答：解：假设BC，AD是共面直线，则A，B，C，D共面；所以四边形ABCD是平面四边形与已知矛盾故BC，AD是异面直线
∵E，F，分别是AB，BC的中点，∴EF∥BD；EF=

1

2

BD；同理GH∥BD；GH=

1

2

BD；所以四边形EFGH是平行四边形
若EFGH是菱形则有EH=EF；所以BD=AC
若EFGH是矩形，则EH⊥EF；所以BDAC
若四边形是正方形则四边形是矩形且是菱形则
BD=AC，BD⊥AC
故答案为：异面直线；平行四边形；BD=AC；BD⊥AC；BD=AC且BD⊥AC

点评：证明或判断两直线是异面直线常用反证法、三角形的中位线平行且等于底边的一半．