Question

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）要证明AB⊥平面CDE，只需证明AB垂直平面CDE内的两条相交直线CE、DE即可；
（2）易证AB⊥平面CDE，就能证明平面CDE⊥平面ABC；
（3）G为△ADC的重心，连接AG并延长交CD于H，连接EH，推出GF∥EH，AF=2FE可得GF∥平面CDE．

解答：证明：（1）

BC=AC AE=BE

?CE⊥AB，同理，

AD=BD AE=BE

?DE⊥AB，
又∵CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE．
（2）由（1）知AB⊥平面CDE，
又∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（3）连接AG并延长交CD于H，连接EH，则

AG

GH

=

2

1

，
在AE上取点F使得

AF

FE

=

2

1

，
则GF∥EH，
易知当AF=2FE时，GF∥平面CDE．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．